Logika matematika adalah gabungan dari ilmu logika dan ilmu matematika. Logika berasal dari bahasa yunani kuno yaitu λόγος (logos), logos dapat diartikan sebagai hasil pertimbangan akal atau pikiran yang dinyatakan lewat kata atau bahasa. Sedangkan jika diartikan secara sistematis, logika dapat dianalisis berdasarkan nilai-nilai kebenaran.
Logika matematika diartikan sebagai cabang logika dan matematika yang mengandung kajian logika matematis dan aplikasi kajian ini pada bidang-bidang lain di luar matematika. Logika matematika berhubungan erat dengan ilmu komputer dan logika filosofis.
Logika matematika memiliki kegunaan yaitu untuk menganalisis kasus atau sebagai media penarik kesimpulan. Logika matematika sebagai ilmu independen yang muncul pada abad pertengahan ke 19. Pada abad sebelumnya, logika matematika ini dipelajari melalui Ilmu Retorika, Silogisme, & sebagai Ilmu Filsafat.
Setelah berada pada abad ke 19 inilah, sebagian Ilmuwan Matematika Besar, seperti : George Boole, Augustus De Morgan, & George Peacock mencoba meneliti dan mengembangkan Logika Informatika tersebut.
Tahap logika antara lain pernyataan, negasi, disjungsi, konjungsi, implikasi, biimplikasi,dua pernyataan yang ekuivalen, kalimat berkuantor, serta penarikan kesimpulan.
B. Tahapan
1. Pernyataan/kalimat
Pernyataan yaitu kalimat yang mempunyi nilai benar atau salah, tetapi dengan pernyataan keduanya (Benar-salah). Sebuah kalimat tidak dapat ditentukan sebagai pernyataan apabila kita tidak bisa menentukan kebenaran atau kesalahan dan bersifat relatif. Dalam logika matematika terdapat dua jenis pernyataan, yaitu pernyataan tertutup dan pernyataan terbuka.
Pernyataan tertutup
Pernyataan tertutup adalah kalimat pernyataan yang sudah bisa dipastikan nilai benar/salah nya.
Contoh :
1. Pada angka 5 disebut sebagai “Bilangan Genap“. Kalimat pada pernyataan tersebut bernilai salah, karena yang benar adalah angka 5 merupakan sebuah “Bilangan Ganjil”.
2. Ibukota dari Jawa barat adalah Jakarta ⇒ kalimat yang bernilai salah
3. Jumlah sudut-sudut dalam segitiga adalah 180° ⇒ kalimat yang bernilai benar
Pernyataan terbuka
Pernyataan terbuka adalah kalimat pernyataan yang belum dapat dipastikan nilai benar/salah nya.
Contoh :
1. p(x) : 3x + 1 > 6, x ∈ R
Jika x = 1 maka p(1) : 3(1) + 1> 6 bernilai salah
Jika x = 2 maka p(2) : 3(2) + 1> 6 bernilai benar
2. dua dikali jumlah permen di dalam kotak ditambah 5 adalah dua puluh sembilan ⇒ 2x + 5 = 29
3. suatu bilangan dikuadratkan kemudian dikurangi enam belas hasilnya sama dengan nol ⇒ z² - 16 = 0
C. Ingkaran/negasi
Dalam logika matematika, negasi, atau ingkaran adalah operasi matematika terhadap suatu pernyataan, baik tunggal maupun majemuk. Operasi negasi membalikkan nilai kebenaran suatu pernyataan. Jika p bernilai benar, maka ~p bernilai salah. Sebaliknya, jika p bernilai salah, maka ~p bernilai benar.
Contoh :
p: Jakarta adalah ibukota Indonesia (pernyataan bernilai benar)
q: Jakarta adalah kota metropolitan (pernyataan bernilai benar)
p^q: Jakarta adalah ibukota Indonesia dan kota metropolitan (pernyataan bernilai benar)
c. Pernyataan majemuk, bentuk ekuivalen dan ingkarannya
Dalam logika matematika, beberapa pernyataan dapat dibentuk menjadi satu pernyataan dengan menggunakan kata penghubung logika seperti dan, atau, maka dan jika dan hanya jika. Pernyataan gabungan tersebut disebut dengan pernyataan majemuk.Dalam logika matematika, kata hubung tersebur masing-masing memiliki lambang dan istilah sendiri.
I. Konjunsi
Konjungsi yaitu pernyataan majemuk yang dihubungkan dengan kata hubung “dan” atau disimbolkan dengan “^”. Pernyataan konjungsi hanya memiliki nilai benar jika kedua pernyataan di dalamnya bernilai benar. Jika salah satu pernyataan bernilai salah, maka pernyataan konjungsi juga bernilai salah.
Perhatikan tabel kesimpulan :
II.Disjungsi
Disjungsi adalah pernyatan majemuk yang dihubungkan dengan kata “atau” yang disimbolkan dengan “V” . Disjungsi merupakan kebalikan dari konjungsi. Pernyataan disjungsi hanya akan bernilai salah jika kedua pernyataan yang terdapat didalamnya bernilai salah. Jika salah satu pernyataan bernilai benar, maka pernyataan disjungsi juga bernilai benar.
Perhatikan tabel dibawah ini.
III. Implikasi
Implikasi yaitu pernyataan majemuk yang diawali dengan kata jika dan dihubungkan dengan kata hubung “maka” yang disimbolkan dengan “=>”. Misal “p => q” dibaca “p maka q”.
Perhatikan tabel dibawah ini
IV. Bi Implikasi
Bi Implikasi yaitu bentuk kompleks sari implikasi yang berarti “jika dan hanya jika” yang disimbolkan dengan “<=>”. Misal p <=> q dibaca “p jika dan hanya jika q”.
Perhatikan tabel dibawah ini.
D. Ekuivalensi penyataan majemuk
Pernyataan majemuk yang memiliki nilai sama untuk semau kemungkinannya dikatakan ekuivalen. Notasi ekuivalen dalam logika matematika adalah
“
“..
Bentuk-bentuk pernyataan yang saling ekuivalen adalah:
Ingkaran Pernyataan Majemuk
Ingkaran Konjungsi:
Ingkaran Disjungsi:
Ingkaran Implikasi:
Ingkaran Biimplikasi:
E.Implikasi
1. Konvers
Konvers adalah perubahan dari satu sistem ke sitem yang lain. Pernyataan q=>p disebut Konvers dari p=>q. Invers adalah Pembalikan suatu susunan dari suatu susunan yang lazim. Pernyataan ~p=>~q disebut Invers dari p=>q
Contoh :
Implikasi: Jika Najwa Sihab rajin baca buku, maka Najwa Sihab cerdas.
Konvers: Jika Najwa Sihab cerdas, maka Najwa Sihab rajin baca buku.
Jadi, kalau orang tua kita bilang “Nak, kamu harus rajin baca buku biar kamu cerdas.” Berarti logikanya, orang tua kita ingin kita jadi anak yang cerdas, maka disuruh rajin baca buku. Jadi, jawab aja orang tuamu “Oke Mah, aku mau cerdas, makanya aku rajin baca buku.”
2. Invers
Invers adalah lawan dari implikasi. Dalam invers, pernyataan yang terdapat pada pernyataan majemuk merupakan negasi dari pernyataan pada implikasi. Misal p => q, maka inversnya adalah ” ~p => ~q”
Contoh :
Implikasi: Jika Najwa Sihab rajin baca buku, maka Najwa Sihab cerdas.
Invers: Jika Najwa Sihab tidak rajin baca buku, maka Najwa Sihab tidak cerdas.
3. Kontraposisi
kontraposisi merupakan kebalikan daripada invers sama halnya dengan konvers, hanya pernyataan majemuknya merupakan negasi atau ingkaran. Misalkan invers “~p => ~q” . Maka kontraposisi nya adalah “~q => ~p”
Contoh :
Implikasi: Jika Najwa Sihab rajin baca buku, maka Najwa Sihab cerdas.
Kontraposisi: Jika Najwa Sihab tidak cerdas, maka Najwa Sihab tidak rajin baca buku.
Jadi, kontraposisi itu gabungan antara konvers dan invers.
F. Pernyataan berkuantor dan ingkarannya
Pernyataan kuantor yaitu bentuk pernyataan yang didalamnya terdapat konsep kuantitas. terdapat dua jenis kuantor, yaitu kuantor universal dan kuantor eksistensial.
- Kuantor universal digunakan dalam pernyataan yang menggunakan konsep setiap atau semua
- Kuantor eksistensial digunakan dalam pernyataan yang mengandung konsep ada, sebagian, beberapa, atau terdapat.
Pernyataan berkuantor memiliki negasi atau ingkaran. Negasi dari berkuantor universal adalah kuantor eksistensial begitu juga sebaliknya. Perhatikan contoh berikut.
- p : beberapa mahasiswa memiliki semangat belajar yang tinggi
- ∼p : semua mahasiswa tidak memiliki semangat belajar yang tinggi
G. Penarikan kesimpulan (Modus Ponen, modus tollens, Modus Silogisme),
Kesimpulan dapat dilakukan dari beberapa pernyataan yang diketahui nilai kebenarnya yang disebut premis. Kemudian dengan menggunakan prinsip-prinsip yang ada diperoleh pernyataan yang baru yang disebut kesimpulan/konklusi yang diturunkan dari premis yang ada. Penarikan kesimpulan seperti itu sering disebut dengan argumentasi. Suatu argumentasi dikatakan sah Jika premis-premisnya benar maka konklusinya juga benar. Terdapat 3 metode dalam penarikan kesimpulan, yaitu : Modus ponens, Modus Tolens, dan Silogisme.
1. Modus Ponens
modus ponens adalah aturan penarikan kesimpulan. Hal ini dapat diringkas sebagai "P maka Q dan P adalah keduanya dianggap benar, maka Q harus benar." Modus ponens berkaitan erat dengan aturan lain, modus tollens.
Contoh :
Soal 1:
Premis 1 : Jika Andi rajin belajar, maka Andi juara kelas
Premis 2 : Andi rajin belajar
Kesimpulan dari kedua premis diatas adalah ….
Jawab:
Premis 1 :
Premis 2 : p
Kesimpulan : q (modus ponens)
Jadi kesimpulannya adalah Andi juara kelas.
2. Modus Tolens
Dalam kalkulus proposisional, modus tollens adalah bentuk argumen valid dan aturan penarikan kesimpulan. Ini adalah sebuah penerapan dari kebenaran umum bahwa jika sebuah pernyataan adalah benar, maka kontra positif-nya juga benar.
contoh :
premis 1 : Jika hari Senin, maka aku memakai seragam putih - putih
premis 2 : Aku memakai seragam putih - putih
___________________
Kesimpulan : Hari Senin
3. Modus Silogisme
Silogisme adalah suatu proses penarikan kesimpulan secara deduktif. Silogisme disusun dari dua proposisi (pernyataan) dan sebuah konklusi (kesimpulan).
Contoh :
Misalkan terdapat dua implikasi seperti berikut
- Jika seseorang rajin belajar maka ia akan berilmu
- Jika seseorang berilmu maka ia akan berguna di masyarakat
Dapat diperoleh kesimpulan
Jika seseorang rajin belajar maka ia akan berguna di masyarakat
TABEL LOGIKA MATEMATIKA
. Nilai determinan dari matriks (AB – C) adalah ...
, invers matriks AB adalah ...
adalah ...
