MATEMATIKA: November 2020

ALLYA MAHIRA(3)

XI IPS 3

MATERI PERTUMBUHAN, BUNGA TUNGGAL, BUNGA MAJEMUK, BUNGA ANUITAS, PELURUH DAN CONTOH SOALNYA

PERTUMBUHAN

Pertumbuhan merupakan kenaikan jumlah pada tiap periode waktu berdasarkan suatu rasio pertumbuhan. Jika jumlah awal adalah $J_0$ dan rasio adalah r per tahun, maka pada akhir tahun ke-n, jumlah akhirnya menjadi $J_n$ :

$J_n = J_0(1+r)^n$

Contoh, jumlah penduduk 10.000 jiwa dengan pertumbuhan penduduk 5% per tahun, maka pada akhir tahun ke-4, jumlahnya

$J_n = 10.000 (1+0.05)^4 = 12.155\ jiwa$

Contoh Soal:
Pada tahun 2010, jumlah penduduk Kabupaten A adalah 278.741 jiwa. Berapakah perkiraan jumlah penduduk Kabupaten A pada tahun 2020, jika diketahui laju pertumbuhan penduduk geometriknya adalah 3,03 persen.

Diketahui:
Po = 278.741
t = 2020 – 2010 = 10
r = 3,03 persen atau 0,0303
Dengan menggunakan rumus di atas, bisa kita perkirakan jumlah penduduk pada tahun 2020 yaitu sebagai berikut.
Pt = 278.741 (1 + 0,0303)10
Pt = 375.697
Sehingga perkiraan jumlah penduduk Kabupaten A pada tahun 2020 adalah 375.697 jiwa.

BUNGA TUNGGAL

Bunga Tunggal adalah bunga yang diberikan berdasarkan perhitungan modal awal, sehingga bunga hanya memiliki satu variasi (tetap) dari awal periode sampai akhir periode.

Modal adalah jumlah dari yang digabungkan, modal awal merupakan modal yang dikeluarkan pada awal waktu usaha dan sebelum digabungkan. Modal akhir adalah hasil dari modal yang digabungkan. Sedangkan suku bunga dinyatakan dalam presentase tiap satuan waktu.

Jika modal awal sebesar $M_0$ mendapat bunga tunggal sebesar b (dalam persentase) per bulan, maka setelah n bulan besar modalnya $M_n$ menjadi:

$M_n = M_0(1+n \cdot b)$

Contoh Soal:

Diketahui modal pinjaman Rp1.000.000 dengan bunga sebesar $2 \%$ per bulan, maka setelah 5 bulan modalnya adalah ….

$M_n = 1.000.000 (1 + 5 \times \frac{2}{100}) = Rp1.100.000$

Jika modal awal sebesar $M_0$ , dan diketahui jumlah bunga tunggalnya B, maka besar persentase bunga tunggalnya b adalah

$b = \frac{B}{M_0} \times 100 \%$

Contoh Soal:

Diketahui bunga tunggal sebesar Rp50.000 untuk modal pinjaman Rp1.000.000, maka presentasenya adalah

$b = \frac{50000}{1000000}\times 100 \% = 5 \%$

BUNGA MAJEMUK

Bunga Majemuk adalah bunga yang diberikan berdasarkan modal awal di akumulasi bunga pada periode sebelumnya. Bunga majemuk memiliki banyak variasi dan selalu berubah (tidak tetap) pada tiap periode.

Jika modal awal sebesar $M_0$ mendapat bunga majemuk sebesar b (dalam persentase) perbulan, maka setelah n bulan besar modalnya $M_n$ menjadi:

$M_n = M_0(1+b)^n$

Contoh Soal:

Diketahui modal pinjaman Rp1.000.000 dengan bunga majemuk sebesar $2 \%$ per bulan, maka setelah 5 bulan modalnya adalah

$M_n = 1.000.000(1+0.02)^5 = 1.104.080,80$

Jika modal awal sebesar $M_0$ disimpan di bank mendapatkan bunga sebesar b pertahun dan perhitungan bunga dihitung sebanyak m kali dalam setahun, maka besar modal pada akhir tahun ke-n adalah :

$M_n = M_0(1+\frac{b}{m})^{mn}$

Contoh, $M_0 = 1.000.000$ , $m = 12\ kali$ , $n = 2\ tahun$ , dan $b = 6 \%$ , maka

$M_n = 1.000.000(1+\frac{0.06}{12})^{12 \times 2} = 1.127.159,78$

BUNGA ANUITAS

Anuitas adalah rangkaian pembayaran atau penerimaan yang sama jumlahnya dan harus dibayarkan atau yang harus diterima pada tiap akhir periode atas sebuah pinjaman atau kredit. Jika suatu pinjaman akan dikembalikan secara anuitas, maka ada tiga komponen yang menjadi dasar perhitungan yaitu:

Besar pinjaman
Besar bunga
Jangka waktu dan jumlah periode pembayaran

Anuitas yang diberikan secara tetap pada setiap akhir periode mempunyai dua fungsi yaitu membayar bunga atas hutang dan mengangsur hutang itu sendiri. Sehingga konsepnya :

$Anuitas = Bunga\ atas\ hutang\ + Angsuran\ hutang$

Jika utang sebesar $M_o$ mendapat bunga sebesar b per bulan dan anuitas sebesar A, maka dapat ditentukan :

Besar bunga pada akhir periode ke-n

$B_n = (1+b)^{n-1}(b \cdot M - A) + A$

Besar angsuran pada akhir periode ke-n

$A_n = (1+b)^{n-1}(A - bM)$

Sisa hutang pada akhir periode ke-n

$M_n = (1+b)^n (M - \frac{A}{b}) + \frac{A}{b}$

Besar anuitas untuk membayar hutang sebesar $M_0$ dengan bunga sebesar b perbulan selama n bulan adalah :

$A = \frac{b (M_0)(1 + b)^n}{(1 + b)^n - 1}$

Contoh Soal :

Sebuah pinjaman sebesar Rp20.000.000,00 akan dilunasi secara anuitas tahunan sebesar Rp4.000.000,00. Jika suku bunga 5% per tahun, besar angsuran adalah?

$A_n = (1+b)^{n-1}(A - bM)$

$A_n = (1+0,05)^{3-1}(4.000.000 - (0,05)20.000.000)$

$A_n = (1,05)^2(4.000.000 - 1.000.000)$

$A_n = (1,1025)(3.000.000)$

PELURUH

Peluruhan (penyusutan) adalah pengurangan nilai dari harta tetap terhadap nilai buku atau nilai beli awalnya. Peluruhan (penyusutan) dilakukan secara berkala dalam rangka pembebanan biaya pada pendapatan, baik atas penggunaan harta tersebut maupun karena sudah tidak memadai lagi. Peristiwa yang termasuk dalam peluruhan (penyusutan) diantaranya adalah peluruhan zat radioaktif dan penyusutan harga suatu barang.
Ada dua istilah dalam peluruhan (penyusutan) yaitu, nilai buku dan nilai beli. Nilai beli merupakan harga awal ketika melakukan pembelian barang. Sedangkan nilai buku adalah nilai setelah terjadi penyusutan dimana nilainya tiap periode akan semakin kecil.
Jika harga sebuah barang pada saat dibeli adalah $M_0$ dan mengalami penyusutan tiap tahunnya sebesar p (dalam persen) dari harga belinya, maka nilai barang pada akhir tahun ke-n adalah :
$M_n = M_0(1 - np)$

Besar nilai (harga) penyusutan tiap tahun adalah:
$P = M_0.p$
$P = 100.000.000 \times 0.1 = 10.000.000$

Jika suatu barang mengalami penyusutan tiap tahunnya sebesar p (dalam persen) dari nilai bukunya sendiri, maka pada akhir tahun ke-n, nilai barangnya adalah :
$M_n = M_0(1 - p)^n$

Besar nilai (harga) penyusutan pada tahun ke-n adalah
$P_n = M_{n-1}(p)(1 - p)^{(n-1)}$

Contoh Soal :
Sebuah mobil dengan harga Rp 30.000.000,00 tiap-tiap tahun ditaksir harganya menyusut 10%. Berapa harga mobil setelah 4 tahun?

Diketahui:
harga mobil (M)= Rp 30.000.000,00,
penyusutan (i) = 10 = 0,1,
Waktu (n) = 4 tahun
Harga mobil setelah 4 tahun dapat dihitung sebagai berikut:
Mn= M (1 + i )n
M4 = 30.000.000 (1 - 0,1)4
= 30.000.000(0,9)4
= 30.000.000(0,6561)
= 19.683.000
Jadi harga mobil setelah 4 tahun adalah Rp 19.683.000,002.

ALLYA MAHIRA(3)

XI IPS 3

BARISAN DAN DERET GEOMETRI

A. BARISAN GEOMETRI
Barisan geometri adalah baris yang nilai setiap sukunya didapatkan dari suku sebelumnya melalui perkalian dengan suatu bilangan. Perbandingan atau rasio antara nilai suku-suku yang berdekatan selalu sama yaitu r. Nilai suku pertama dilambangkan dengan a.
Untuk mengetahui nilai suku ke-n dari suatu barisan geometri dapat dihitung dengan rumus berikut. $U_{n}=ar^{n-1}$

B. DERET GEOMETRI
Deret geometri adalah penjumlahan suku-suku dari barisan geometri.
Penjumlahan dari suku-suku pertama sampai suku ke-n barisan geometri dapat dihitung dengan rumus berikut.

$S_{n}=a\frac{(1-r^{n})}{(1-r)}$

dengan syarat r < 1

atau

$S_{n}=a\frac{(r^{n}-1)}{(r-1)}$

dengan syarat r > 1

C. CONTOH SOAL BARISAN DAN DERET GEOMETRI
Contoh Soal 1
Selembar kertas dipotong menjadi dua bagian. Setiap bagian dipotong menjadi dua dan seterusnya. Jumlah potongan kertas setelah potongan kelima sama dengan …

Pembahasan:
Diketahui: a = 1
r = 2
Ditanya: $U_{5}=?$
Jawab:
$U_{n}=ar^{n}$
$U_{5}=1.2^{5}$
=32
Jadi, jumlah potongan kertas setelah potongan kelima adalah 32

Contoh Soal 2
Pada sebuah deret geometri diketahui bahwa suku pertamanya adalah 3 dan suku ke-9 adalah 768. Suku ke-7 deret tersebut adalah …

Pembahasan :
Diketahui: a = 3
$U_{9}=768$
Ditanya: $U_{7}=?$
Jawab:
Sebelum kita mencari nilai dari $U_{7}$ , kita akan mencari nilai r terlebih dahulu.
Ingat kembali bahwa $U_{n}=ar^{n-1}$ sehingga $U_{9}$ dapat ditulis menjadi
$U_{9}=768$
$3.r^{9-1}=768$
$r^{8}=\frac{768}{3}$
$r^{8}=256$
$r=\sqrt[8]{256}$
$r=2$
𝑆ehingga,
$U_{7}=3.2^{6}$
$=3.64$
$=192$
Jadi, suku ke-7 deret tersebut adalah 192.

Contoh Soal 3
Diketahui suku ke-5 dari barisan geometri adalah 243, hasil bagi suku ke-9 dengan suku ke-6 adalah 27. Suku ke-2 dari barisan tersebut adalah …

Pembahasan:
Diketahui $U_{5}=243$
$\frac{U_{9}}{U_{6}}=27$
Ditanya $U_{2}=?$
Jawab:
Sebelum kita mencari nilai dari $U_{2}$ , kita akan mencari nilai a dan r terlebih dahulu.
Ingat kembali $U_{n}=ar^{n-1}$ maka
$\frac{a.r^{8}}{a.r^{5}}=27$
$r^{3}=27$
$r=\sqrt[3]{27}$
$r=3$
Substitusikan r = 3 ke persamaan $U_{5}=243$
$U_{5}=243$
$a.3^{4}=243$
$a=\frac{243}{81}$
$a=3$
sehingga
$U_{2}=a.r$
$=3.3$
= 9
Jadi, suku ke-2 dari barisan tersebut adalah 9.

Contoh Soal 4
Jumlah 6 suku pertama deret geometri 2 + 6 + 18 + … adalah …

Pembahasan:
Diketahui: a = 2
r = 3
ditanyakan $U_{6}=?$
Jawab:
$S_{n}=a\frac{(r^{n}-1)}{(r-1)}$
$S_{6}=2\frac{(3^{6}-1)}{(3-1)}$
$=2\frac{(729-1)}{2}$
$=728$
Jadi, jumlah 6 suku pertama deret geometri tersebut adalah 728.

Contoh Soal 5

Diketahui suku ke-2 dan ke-4 barisan geometri berturut-turut adalah 12 dan 27. Jika nilai r > 0, tentukan nilai dari suku ke-3!

Pembahasan:
Diketahui:
U₂ = 12
U₄ = 27
r > 0
Ditanya: U₃ =…?
Pembahasan:
Nyatakan suku ke-2 dan ke-4 dalam notasi matematis.

Lakukan pembagian antara kedua suku seperti berikut.

Setelah rasio diketahui, tentukan suku ke-3nya.

Jadi, nilai dari suku ke-3 adalah 18.

Contoh Soal 6

Kamu berinvestasi sebesar Rp10.000.000. Pada bulan pertama kamu investasi, keuntungan yang diperoleh adalah Rp2.000. Pada bulan kedua, keuntungannya menjadi Rp4.000 dan bulan ketiga menjadi Rp8.000. Kira-kira berapa keuntungan yang kamu dapatkan setelah 10 bulan berinvestasi? Dan berapa total uang yang bisa kamu kumpulkan setelah berinvestasi selama 10 bulan?

Pembahasan:

Pada kondisi tersebut, keuntungan setiap bulan merupakan kelipatan 2 dari bulan sebelumnya. Artinya, jika dibentuk barisan, keuntungan tersebut akan menjadi barisan geometri, yaitu Rp2.000, Rp4.000, Rp8.000, …,U_n. Setelah 10 bulan, keuntungannya akan menjadi:

Jadi, keuntungan yang akan kamu dapatkan setelah berinvestasi selama 10 bulan adalah Rp2.046.000 dengan total uang mencapai Rp10.000.000 + Rp2.046.000 = Rp12.046.000.

MATEMATIKA

Minggu, 22 November 2020

PERTUMBUHAN, BUNGA TUNGGAL, BUNGA MAJEMUK, BUNGA ANUITAS, PELURUH DAN BEBERAPA CONTOH SOAL

BARISAN DAN DERET GEOMETRI BERSERTA CONTOH SOALNYA

ALLYA MAHIRA(3)

BARISAN DAN DERET GEOMETRI

Postingan Populer