MATEMATIKA: BARIS DAN DERET GEOMETRI DAN CONTOH SOALNYA

ALLYA MAHIRA(3)

SMAN 63 JAKARTA

XI IPS 3

a. Barisan Geometri

Barisan geometri merupakan suatu barisan dengan pembanding antara dua suku berurutan yang selalu bersifat tetap. Pembanding dari dua suku berurutan tersebut dinamakan sebagai rasio, yang biasa dinotasikan dengan penggunaan huruf r.

- Bentuk barisan geometri

Rumus untuk menentukan rasio pada barisan geometri adalah sebagai berikut.

Keterangan:
r = rasio;
Un = suku ke-n;
Un-1= suku sebelum suku ke-n; dan
n = banyaknya suku.

- Suku ke-n barisan geometri

Suku ke-n masih bisa kamu tentukan selama nilai n belum terlalu besar. Namun, jika nilai n cukup besar, cara seperti itu sulit untuk dilakukan. Untuk memudahkan kamu dalam menghitung suku ke-n barisan geometri, gunakan persamaan berikut.

Akibat dari rumus suku ke-n tersebut, dapat diperoleh

Jika banyak suku (n) ganjil, suku tengah (Ut) barisan geometri dapat dirumuskan sebagai berikut.

Sementara itu, jika di antara dua buah suku U1,U2,U3,…,Un disisipkan k buah bilangan sehingga terbentuk barisan geometri baru, rasio dan banyak suku dari barisan tersebut akan berubah sesuai rumusan berikut.

Keterangan:
r’= rasio barisan geometri baru;
r= rasio barisan geometri lama;
k= banyak suku yang disisipkan;
n’= banyak suku barisan geometri baru; dan
n= banyak suku barisan geometri lama.

Perlu diingat bahwa suku pertama barisan baru sama dengan suku pertama barisan lama.

Dengan a merupakan suku pertama atau U1.

- Suku tengah barisan geometri

Apabila suatu barisan geometri memiliki banyak suku (n) ganjil, suku pertama a, serta suku terakhir Un maka suku tengah Ut dari barisan tersebut ialah sebagai berikut.

Rumus suku tengah barisan geometri :

- Sisipan pada barisan geometri

Apabila diantara dua suku barisan geometri disisipkan k buah suku sehingga akan terbentuk barisan geometri baru sehingga rasio barisan geometri sesudah disisipkan k buah suku akan mengalami perubahan.
Rasio dari barisan geometri sesudah disisipkan k buah suku ialah seperti berikut ini :

Keterangan:
r’ merupakan rasio barisan geometri setelah disisipkan k buah suku.
k merupakan banyak suku yang disisipkan.
Banyak suku dari barisan geometri yang disisipkan k buah suku juga akan mengalami perubahan, menjadi seperti yang ada di bawah ini:
n’ = n + (n – 1)k
Keterangan:
n’ merupakan banyak suku barisan geometri baru.
n merupakan banyak suku barisan geometri lama.

b. Deret Geometri

Deret geometri adalah penjumlahan suku-suku dari suatu barisan geometri. Penjumlahan dari suku suku petama sampai suku ke-n barisan geometri dapat dihitung sebagai:

$S_n = U_1 + U_2 + U_3 + \cdots + U_{(n - 1)} + U_n$

Atau sebagai:

$S_n = a + ar + ar^2 + ar^3 + \cdots + ar^{(n - 2)} + ar^{(n - 1)}$

Jika hanya diketahui nilai a adalah suku pertama dan nilai Un adalah suku ke-n, maka nilai deret aritmatikanya adalah :

Persamaan tersebut bisa dibalik untuk mencari nilai suku ke-n. Cara memperolehnya sama dengan deret aritmatika yaitu:

$U_n = S_n - S_{(n - 1)}$

Keterangan:
Sn merupakan jumlah n suku pertama.
a merupakan suku pertama.
r merupakan rasio.
n merupakan banyak suku.

c. Contoh Soal Geometri

1. Dalam sebuah deret geometri diketahui U1 = 6 dan U5 = 486. Berapakah besar rasionya ?

PENYELESAIAN :

U1 = 6

U5 = 486

n = 5

Un = U1 × rn-1

U5 = 6 × r5-1

486 = 6 × r4

r4 = 486/6

= 81

r = ±

r = 3 atau -3

Sehingga rasio deret tersebut adalah 3 atau -3.

2 Diketahui suatu barisan geometri untuk mencari suku Un.

Tentukan suku Un yang ke 7 dari barisan 3, 6, 2,…. tersebut!

PENYELESAIAN :

Diketahui :

a = 3
r = 2

Un = ar(n-1)
Un = 3.2(7-1)
U7 = 3.2(7-1)
U7 = 192

Sehingga, suku Un yang ke 17 tersebut yaitu = 192

3. Diketahui suatu barisan geometri untuk mencari suku Un.

Carilah suku Un yang ke 7 dari barisan 58, 24, 12,…. tersebut!

PENYELESAIAN :

Diketahui :

a = 48
r = 1/2

Un = arn-1
Un = 58.(1/2)n-1
Un = 58.(1/2)n-1
Un = 58.(2-1)1-n
Un = 4.16. (2)1-n
U7 = 4.24 (2)1-n
U7 = 4.25-n

Sehingga, suku Un yang ke 7 tersebut yaitu = 4.25-n

4. Jika jumlah 2 suku pertama deret geometri adalah 6 dan jumlah 4 suku pertama adalah 54. Memiliki rasio positif. Maka tentukan jumlah 6 suku pertama deret tersebut!

PENYELESAIAN :

Diketahui bahwa:

$S_2 = 6$

$6 = a \frac{(1 - r^2)}{(1 -r)} = a \frac{(1 -r)(1 + r)}{(1 -r)} = a(1 + r)$

dan

$S_4 = 54$

$54 = a \frac{(1 - r^4)}{(1 - r)} = a \frac{(1 - r^2)(1 + r^2)}{(1 - r)} = a \frac{(1 - r)(1 + r)(1 + r^2)}{(1 - r)}$

$54 = a(1 + r)(1 + r^2)$

Jika kedua persamaan disubstitusikan :

$54 = a(1 + r)(1 + r^2)$

$54 = 6(1 + r^2)$

$9 = (1 + r^2)$

$r = \pm \sqrt{8} = \pm2\sqrt{2}$

Dan

$6 = a(1 + r) = a(1 + 2\sqrt{2})$

$a = \frac{6}{(1 + 2\sqrt{2})}$

Sehingga :

$S_n = a \frac{(1 - r^n)}{(1 - r)} = (\frac{6}{1 + 2\sqrt{2}}) \frac{(1 - (2\sqrt{2})^6)}{(1 - 2\sqrt{2})}$

$S_n = \frac{6(1 - 8^3)}{1 - 8} = \frac{3066}{7}$

5. Diketahui suatu barisan geometri di mana untuk mencari suku Un.

Tentukanlah suku Un yang ke 10 dari barisan 1/8, 1/4, 1/2,…. tersebut!

PENYELESAIAN :

Diketahui :

= r = 1/4 : 1/8 = 1/4 x 8 = 2 (rasionya)
a = 1/8

Un = arn – 1
Un = 1/8 . 2 (10 – 1) = 1/8 . 29 = 2 – 3 . 29 = 26 = 64

Sehingga, suku Un yang ke 10 tersebut yaitu = 64

6. Dalam sebuah deret geometri diketahui U3 = 81 dan U6 = 3. Maka hitunglah deret tersebut!

PENYELESAIAN :

U3 = 81, maka U1 × r² = 81

U6 = 3, maka U1 × r5 = 3

U6/U3 = ( U1 × r5 )/( U1 × r² ) = 3/81

r³ = 1/27

r = akar pangkat 3 dari (1/27)

r = 1/3

U1 × r² = 81

U1 × (1/3)² = 81

U1 × 1/9 = 81

U1 = 81 : 1/9

U1 = 81 × 9

U1 = 729

Sehingga deret tersebut yaitu 729+243+81+27+…

7. Pada sebuah deret geometri diketahui bahwa suku pertamanya adalah 3 dan suku ke-9 adalah 768. Suku ke-7 deret tersebut adalah …

PENYELESAIAN :

Diketahui: a = 3

$U_{9}=768$

Ditanya: $U_{7}=?$

Sebelum kita mencari nilai dari $U_{7}$ , kita akan mencari nilai r terlebih dahulu.

Ingat kembali bahwa $U_{n}=ar^{n-1}$ sehingga $U_{9}$ dapat ditulis menjadi

$U_{9}=768$

$3.r^{9-1}=768$

$r^{8}=\frac{768}{3}$

$r^{8}=256$

$r=\sqrt[8]{256}$

$r=2$

𝑆ehingga,

$U_{7}=3.2^{6}$

$=3.64$

$=192$

Jadi, suku ke-7 deret tersebut adalah 192.

8. Diketahui suku ke-5 dari barisan geometri adalah 243, hasil bagi suku ke-9 dengan suku ke-6 adalah 27. Suku ke-2 dari barisan tersebut adalah …

PENYELESAIAN :

Diketahui $U_{5}=243$

$\frac{U_{9}}{U_{6}}=27$

Ditanya $U_{2}=?$

Sebelum kita mencari nilai dari $U_{2}$ , kita akan mencari nilai a dan r terlebih dahulu.

Ingat kembali $U_{n}=ar^{n-1}$ maka

$\frac{a.r^{8}}{a.r^{5}}=27$

$r^{3}=27$

$r=\sqrt[3]{27}$

$r=3$

Substitusikan r = 3 ke persamaan $U_{5}=243$

$U_{5}=243$

$a.3^{4}=243$

$a=\frac{243}{81}$

$a=3$

sehingga

$U_{2}=a.r$

$=3.3$

= 9

Jadi, suku ke-2 dari barisan tersebut adalah 9.

9. Diketahui sebuah barisan geometri 3, 6, 12....maka suku ketujuh dari barisan geometri tersebut..

PENYELESAIAN :

a = 3

r = 2

Un = ar(n-1)

⇒ 3.2(7-1)

⇒ 192

10. Diketahui sebuah barisan geometri : 5, 10, 20, 40, 80, .... , 5120. Nilai suku tengahnya adalah...

PENYELESAIN :

a = 5

Un = 5120

Ut = √a . Un

Ut = √5 . 5120 = √25600 = 160

MATEMATIKA

Senin, 09 November 2020

BARIS DAN DERET GEOMETRI DAN CONTOH SOALNYA

a. Barisan Geometri

- Suku ke-n barisan geometri

- Suku tengah barisan geometri

- Sisipan pada barisan geometri

b. Deret Geometri

c. Contoh Soal Geometri

PENYELESAIAN :

Tidak ada komentar:

Posting Komentar

Postingan Populer