TRANSFORMASI TRANSLASI, REFLEKSI, ROTASI, DILATASI DENGAN MATRIKS

Posting soal Transportasi Translasi, Refleksi, Rotasi, Dilatasi dengan perhitungan matriks untuk mencari bayangannya: Titik, garis, bidan datar dan ruangan

NAMA: ALLYA MAHIRA

NO ABSEN: 3

KELAS: XI IPS 3

I. SOAL

1. Tentukan bayangan titik (-2, 8) oleh  rotasi R(O, 135)!

Jawab :

2. Bayangan garis y = 2x + 1 oleh rotasi dengan pusat O sebesar 180° adalah...

Jawab :
$\left[\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}cos{180}^{\circ }& -sin{180}^{\circ }\\ sin{180}^{\circ }& cos{180}^{\circ }\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]$

$\left[\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}-1& 0\\ 0& -1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]$

$\left[\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}-x\\ -y\end{array}\right]$

Dari persamaan matriks diatas diperoleh
x' = -x   →  x = -x'
y' = -y   →  y = -y'

Substitusi x = -x' dan y = -y' ke garis y = 2x + 1
-y' = 2(-x') + 1
-y' = -2x' + 1
y' = 2x' - 1

Jadi, bayangannya adalah y = 2x - 1

3. Peta titik R(1, 3) oleh dilatasi dengan pusat (-2, 4) dan faktor skala -2 adalah...

Jawab :
Titik R : (x, y) = (1, 3)
Pusat dilatasi : (a, b) = (-2, 4)
Faktor skala : k = -2
Peta titik R : (x', y') = ?

Persamaan matriksnya
$\left[\begin{array}{c}{x}^{\prime }-a\\ y^{\prime }-b\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}k& 0\\ 0& k\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x-a\\ y-b\end{array}\right]$

$\left[\begin{array}{c}{x}^{\prime }+2\\ y^{\prime }-4\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}-2& 0\\ 0& -2\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}1+2\\ 3-4\end{array}\right]$

$\left[\begin{array}{c}{x}^{\prime }+2\\ y^{\prime }-4\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}-2& 0\\ 0& -2\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}3\\ -1\end{array}\right]$

$\left[\begin{array}{c}{x}^{\prime }+2\\ y^{\prime }-4\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}-6\\ 2\end{array}\right]$

Dari persamaan matriks diatas kita peroleh
x' + 2 = -6   →   x' = -8
y' - 4 = 2       →   y' = 6

Jadi, peta titik R adalah R'(-8, 6)

4. Peta titik A(2, 3) oleh pencerminan terhadap garis y = x adalah...

Jawab :
$\left[\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}2\\ 3\end{array}\right]$

$\left[\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}3\\ 2\end{array}\right]$

Jadi, peta titik A adalah A'(3, 2)

5. Bayangan titik P jika dicerminkan terhadap sumbu x adalah (4, -2 ). Koordinat titik P adalah ...

Jawab :
$\left[\begin{array}{c}-4\\ -2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}1& -0\\ 0& -1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]$

$\left[\begin{array}{c}-4\\ -2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}-x\\ -y\end{array}\right]$

Dari persamaan matriks diatas kita peroleh
4 = x       →  x = 4
-2 = -y    →  y = 2

Jadi, koordinat titik P adalah (4, 2)

6. Titik A(-4, 3) dipetakan oleh rotasi dengan pusat O sejauh 90° searah jarum jam. Peta titik A adalah ...

Jawab :
Searah jarum jam berarti θ = -90°

Ingat :
sin (-θ) = - sin θ
cos (-θ) = cos θ

$\left[\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}cos(-{90}^{\circ })& -sin(-{90}^{\circ })\\ sin(-{90}^{\circ })& cos(-{90}^{\circ })\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}-4\\ 3\end{array}\right]$

$\left[\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ -1& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}-4\\ 3\end{array}\right]$

$\left[\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}3\\ 4\end{array}\right]$

Jadi, peta titik A adalah A'(3, 4)

7. Titik H (10,4) di refleksikan pada pusat (0,0) maka bayangannya adalah...

Jawab :

8. Titik G (14,4) di dilatasi kan pada pusat (0,0) dan faktor skala 3. Maka bayangannya adalah...

Jawab :

9. Bayangan titik C (4,4) oleh rotasi 90° searah jarum jam dengan pusat (0,0) adalah...

Jawab :

10. Peta titik R(1, 3) oleh dilatasi dengan pusat (-2, 4) dan faktor skala -2 adalah...

Jawab :
Titik R : (x, y) = (1, 3)
Pusat dilatasi : (a, b) = (-2, 4)
Faktor skala : k = -2
Peta titik R : (x', y') = ?

Persamaan matriksnya
$\left[\begin{array}{c}{x}^{\prime }-a\\ y^{\prime }-b\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}k& 0\\ 0& k\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x-a\\ y-b\end{array}\right]$

$\left[\begin{array}{c}{x}^{\prime }+2\\ y^{\prime }-4\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}-2& 0\\ 0& -2\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}1+2\\ 3-4\end{array}\right]$

$\left[\begin{array}{c}{x}^{\prime }+2\\ y^{\prime }-4\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}-2& 0\\ 0& -2\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}3\\ -1\end{array}\right]$

$\left[\begin{array}{c}{x}^{\prime }+2\\ y^{\prime }-4\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}-6\\ 2\end{array}\right]$

Dari persamaan matriks diatas kita peroleh
x' + 2 = -6   →   x' = -8
y' - 4 = 2       →   y' = 6

Jadi, peta titik R adalah R'(-8, 6)