PENERAPAN TURUNAN: KEMONOTONAN, INTERVAL FUNGSI NAIK/TURUN, KECEKUNGAN DAN UJI TURUNAN KEDUA

NAMA: ALLYA MAHIRA

NO: 3

KELAS: XI IPS 3

Contoh Soal Pilihan Ganda dan Pembahasannya yang Berkaitan dengan Penerapan Turunan

1. Suatu pembangunan proyek gedung sekolah dapat diselesaikan dalam $x$ hari dengan biaya proyek per hari $(2x-600+\frac{30}{x})$ ribu rupiah. Agar biaya proyek minimum, proyek tersebut harus diselesaikan dalam waktu $\cdots$ hari. 

jawaban:

Misalkan $f\left(x\right)$ menyatakan biaya proyek selama $x$ hari dalam satuan ribu rupiah, sehingga
$\begin{array}{cc}f\left(x\right)& =x(2x-600+\frac{30}{x})\\ & =2x^2-600x+30\end{array}$
Agar biaya proyek minimum, nilai $x$ yang bersesuaian dapat ditentukan saat $f^{\prime }\left(x\right)=0$, yakni
$\begin{array}{cc}4x-600& =0\\ 4x& =600\\ x& =150\end{array}$
Jadi, proyek tersebut harus diselesaikan dalam waktu $150\text{hari}$ agar biaya proyeknya minimum.

2. Biaya untuk memproduksi 

$x$ bungkus keripik tempe adalah $(\frac{1}{4}{x}^2+25x+25)$ ribu rupiah. Jika setiap bungkus keripik dijual dengan harga $(55-\frac{1}{2}x)$ ribu rupiah, maka keuntungan maksimum yang dapat diperoleh adalah $\cdots \cdot$

jawaban: 

Fungsi pengeluaran dari kasus di atas adalah 

$f\left(x\right)=\frac{1}{4}{x}^2+25x+25$, sedangkan fungsi penjualan sebanyak $x$ bungkus keripik tempe adalah $g\left(x\right)=x\cdot (55-\frac{1}{2}x)=55x-\frac{1}{2}{x}^2$. Karena keuntungan didapat dari hasil penjualan dikurangi pengeluaran (modal), maka kita peroleh fungsi keuntungan$$\begin{array}{cc}h\left(x\right)& =g\left(x\right)-f\left(x\right)\\ & =(55x-\frac{1}{2}{x}^2)-(\frac{1}{4}{x}^2+25x+25)\\ & =-\frac{3}{4}{x}^2+30x-25\end{array}$$Nilai fungsi $h$ akan maksimum ketika $h^{\prime }\left(x\right)=0$.
$$\begin{array}{cc}-\frac{3}{4}\left(2\right)x+30& =0\\ -\frac{3}{2}x& =-30\\ x& =30\times \frac{2}{3}\\ x& =20\end{array}$$Substitusi $x=20$ pada $h\left(x\right)$.
$$\begin{array}{cc}h\left(20\right)& =-\frac{3}{4}(20{)}^2+30(20)-25\\ & =-300+600-25=275\end{array}$$Jadi, keuntungan maksimum yang diperoleh adalah Rp275.000,00.

3. Zhazha akan meniup karet berbentuk bola dengan menggunakan pompa untuk memasukkan udara. Bila laju pertambahan volume udara 

$40{\text{cm}}^3/\text{detik}$ dan laju pertambahan jari-jari $20\text{cm}/\text{detik}$, maka panjang jari-jari bola adalah $\cdots \text{cm}$.

jawaban:

Diketahui:
$\begin{array}{cc}\frac{\text{d}V}{\text{d}t}& =40{\text{cm}}^3/\text{detik}\\ \frac{\text{d}r}{\text{d}t}& =20\text{cm}/\text{detik}\end{array}$
Diketahui juga bahwa rumus volume bola ($V$) dinyatakan oleh
$V=\frac{4}{3}\pi r^3$, 
sehingga turunannya terhadap $r$ adalah
$\frac{\text{d}V}{\text{d}r}=4\pi r^2$
Untuk itu, dapat kita tuliskan
$\begin{array}{cc}\frac{\text{d}V}{\text{d}t}& =40\\ \frac{\text{d}V}{\text{d}r}\cdot \frac{\text{d}r}{\text{d}t}& =40\\ 4\pi r^2\cdot 20& =40\\ 80\pi r^2& =40\\ r^2& =\frac{1}{2\pi }\\ r& =\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\end{array}$
Jadi, panjang jari-jari bola tersebut adalah $\frac{1}{\sqrt{2\pi }}$

4. Sebuah talang air berbentuk kerucut terbalik memiliki jari-jari 

$12\text{cm}$ dan tinggi $18\text{cm}$. Perubahan kecepatan tinggi air sebesar $\frac{27}{100\pi }\text{cm}/\text{detik}$. Debit air saat mencapai tinggi $5\text{cm}$ adalah $\cdots {\text{cm}}^3/\text{detik}$. 

jawaban: 

Diketahui:
$\begin{array}{cc}r& =12\text{cm}\\ h& =18\text{cm}\\ \frac{\text{d}h}{\text{d}t}& =\frac{27}{100\pi }\text{cm}/\text{detik}\end{array}$
Hubungan jari-jari dan tinggi kerucut diberikan oleh
$\frac{r}{h}=\frac{12}{18}=\frac{2}{3}\iff r=\frac{2h}{3}$
Dengan demikian, volume kerucut bila dinyatakan sebagai fungsi terhadap variabel $h$ adalah
$\begin{array}{cc}V\left(h\right)& =\frac{1}{3}\pi r^{2}h\\ & =\frac{1}{3}\pi {\left(\frac{2h}{3}\right)}^{2}h\\ & =\frac{4\pi h^3}{27}\end{array}$
Turunan pertama $V$ terhadap $h$ adalah
$\frac{\text{d}V}{\text{d}h}=\frac{12\pi h^2}{27}=\frac{4\pi h^2}{9}$
Turunan pertama $V$ terhadap $t$ adalah
$\frac{\text{d}V}{\text{d}t}=\frac{\text{d}V}{\text{d}h}\cdot \frac{\text{d}h}{\text{d}t}=\frac{4\pi h^2}{9}\cdot \frac{{27}^3}{100\pi }=\frac{3h^2}{25}$
Untuk $h=5$, diperoleh
$\frac{\text{d}V}{\text{d}t}=\frac{3(5{)}^2}{25}=3$
Jadi, debit air saat mencapai tinggi $5\text{cm}$ adalah $3{\text{cm}}^3/\text{detik}$.

5. Suatu perusahaan memproduksi 

$x$ unit barang dengan biaya $(4x^2-8x+24)$ ribu rupiah untuk tiap unit. Jika barang tersebut terjual habis dengan harga Rp40.000,00 untuk tiap unit, maka keuntungan maksimum yang diperoleh perusahaan tersebut adalah $\cdots \cdot$

jawaban:

Misalkan $f\left(x\right)$ menyatakan total biaya produksi $x$ unit barang, $g\left(x\right)$ menyatakan harga jual $x$ unit barang dalam satuan ribu rupiah, dan $h\left(x\right)$ menyatakan keuntungan yang diperoleh atas penjualan $x$ unit barang, maka
$\begin{array}{cc}f\left(x\right)& =x(4x^2-8x+24)\\ & =4x^3-8x^2+24x\\ g\left(x\right)& =40x\\ h\left(x\right)& =g\left(x\right)-f\left(x\right)\\ & =40x-(4x^3-8x^2+24x)\\ & =-4x^3+8x^2+16x\end{array}$
Agar maksimum, nilai turunan pertama $h^{\prime }\left(x\right)$ harus bernilai $0$. 
$\begin{array}{cc}h\left(x\right)& =-4x^3+8x^2+16x\\ h^{\prime }\left(x\right)& =-12x^2+16x+16\\ 0& =-12x^2+16x+16\\ \text{Bagi}& \text{kedua ruas dengan -4}\\ 0& =3x^2-4x-4\\ 0& =(3x+2)(x-2)\end{array}$
Diperoleh $x=-\frac{2}{3}$ atau $x=2$. Karena $x$ menyatakan jumlah barang dan nilainya tidak mungkin negatif/pecahan, maka $x$ yang diambil adalah $x=2$. 
Substitusikan $x=2$ ke $h\left(x\right)$. 
$\begin{array}{cc}h\left(2\right)& =-4(2{)}^3+8(2{)}^2+16\left(2\right)\\ & =-4\left(8\right)+8\left(4\right)+32=32\end{array}$
Jadi, keuntungan maksimum yang diperoleh perusahaan tersebut adalah Rp32.000,00.

6. Sebuah tabung tanpa tutup akan dibuat dari selembar aluminium seluas 

$300{\text{cm}}^2$. Agar volume tabung maksimum, luas alas tabung adalah $\cdots {\text{cm}}^2$.

jawaban: 

Nyatakan $t$ (tinggi tabung) dalam $r$ (jari-jari tabung) dengan menggunakan luas permukaan tabung ($L$) tersebut. 
$\begin{array}{cc}L& =300\\ \pi r^2+2\pi rt& =300\\ 2\pi rt& =300-\pi r^2\\ t& =\frac{300-\pi r^2}{2\pi r}\end{array}$
Nyatakan volume tabung (V) sebagai fungsi terhadap variabel $r$.
$\begin{array}{cc}V\left(r\right)& =\pi r^{2}t\\ & ={\pi r^2}^r\left(\frac{300-\pi r^2}{2\pi r}\right)\\ & =\frac{r}{2}(300-\pi r^2)\\ & =150r-\frac{1}{2}\pi r^3\end{array}$
Volume tabung akan maksimum saat $V^{\prime }\left(x\right)=0$, sehingga ditulis
$\begin{array}{cc}{V}^{\prime }\left(x\right)& =0\\ 150-\frac{3}{2}\pi r^2& =0\\ \frac{3}{2}\pi r^2& =150\\ \pi r^2& =150\times \frac{2}{3}=100\end{array}$
Karena alas tabung berupa lingkaran dengan rumus luasnya $\pi r^2$, maka kita peroleh bahwa luas alas tabung agar volume tabung maksimum adalah $100{\text{cm}}^2$